Родился в Ленинграде. По окончании в 1990 году Музыкального училища им. М. П. Мусоргского (класс дирижирования Л. Григорьева), поступил в Санкт-Петербургскую академию культуры на кафедру оркестрового дирижирования (класс проф. Ю. Богданова), которую закончил экстерном.

 В 1993–1998 гг. обучался в Санкт-Петербургской консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова на факультете оперно-симфонического дирижирования (класс проф. И. Мусина).

С 1991 года является художественным руководителем и дирижером Молодежного камерного оркестра Санкт-Петербургского государственного университета. В 1993 году за работу с этим оркестром был награжден стипендией Президента России и Министерства культуры.

С 2004 года работает в должности главного дирижера Санкт-Петербургского театра музыкальной комедии. Является музыкальным руководителем следующих спектаклей: «Синяя борода» и «Орфей в аду» Ж. Оффенбаха, «Веселая вдова» (постановки 2006 и 2019 гг.)  и «Граф Люксембург» Ф. Легара, «Баронесса Лили» Е. Хуски, «Гаспарон» К. Миллекера, «Баядера», «Герцогиня из Чикаго» и «Фиалка Монмартра» И. Кальмана, «Холопка» Н. Стрельникова, «Продавец птиц» К. Целлера, «Таинственный сад» С. Баневича, «Бабий бунт» Е. Птичкина, «Брысь!» Я. Дубравина, «Женихи» И. Дунаевского, «Голливудская дива», «Белый. Петербург» Г. Фиртича, «Кабаре для гурманов», «Свадьба в Малиновке» Б. Александрова, «Кокс и Бокс в суде» А. Салливана, «Том Сойер» С. Баневича, «Чин Чи Ла» К. Ломбардо и В. Ранцато, «Бал воров» А. Пантыкина, «Жар-птица. Песни о войне», «Тук-тук» В, Шпачека, «Когда вся жизнь была иной» А. Тихомирова, «Осенние цветы», «Фраскита» Ф. Легара, «Моя прекрасная леди» Ф. Лоу, «Сегодня, сто лет назад», «Мышеловка» А. Журбина, «Летучая мышь» И. Штрауса, «Принцесса цирка» и «Княгиня чардаша» И. Кальмана,  «Жирофле-Жирофля» Ш. Лекока.

Как приглашенный дирижер выступал со многими симфоническими, оперными и камерными оркестрами страны.

В 2007 году А. В. Алексееву присвоено звание «Заслуженный артист России».

В 2016 году в числе творческой группы спектакля «Белый. Петербург» удостоен Премии Правительства Санкт-Петербурга в области культуры и искусства за 2015 год «За достижения в области музыкально-сценического искусства».

В 2017 году удостоен Российской Национальной театральной Премии «Золотая Маска» в номинации «Оперетта-мюзикл/Работа дирижера» за спектакль «Белый. Петербург».

В 2019 году «За большой вклад в развитие культуры и многолетнюю плодотворную работу» А.В. Алексееву была объявлена Благодарность Министра культуры РФ.

В апреле 2021 году Указом Президента Российской Федерации награжден Медалью Ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени «За заслуги в развитии отечественной культуры и искусства, многолетнюю плодотворную деятельность».

Музыкальный руководитель Международного фестиваля «Оперетта-Парк» в Гатчине.

В 2022 году  вышла книга А.В. Алексеева «Оперетта сто лет назад. Петроград 1922 год».

В мае 2024 года А.В. Алексееву присвоено учёное звание профессора.